ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

система функций {(φ_n(x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что

Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., — О. с. ф. с весом 1 на отрезке [—π, π]. Бесселя функции ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №2

n = 1, 2,..., ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №3

J_ν(x), образуют для каждого ν > — ¹/₂ О. с. ф. с весом х на отрезке [0, l ].

Если каждая функция φ (х) из О. с. ф. такова, что ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №4

х) на число ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №5

Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма — Лиувилля задачи (См. Штурма - Лиувилля задача) для уравнения [ρ(х) у' ]' + q (x) y = λу, удовлетворяющих граничным условиям у (а) + hy'(a) = 0, y (b) + Hy' (b) = 0, где h и Н — постоянные. Эти решения — т. н. собственные функции задачи — образуют О. с. ф. с весом ρ (х) на отрезке [a, b ].

Чрезвычайно важный класс О. с. ф. — Ортогональные многочлены — был открыт П.Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.— задача о разложении функции f (x) в ряд вида ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №6

_п(х)} — О. с. ф. Если положить формально ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №7

_п(х)} — нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на φ_п(х) ρ(х) и интегрируя от а до b, получим:

Коэффициенты С_п, называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {φ_n(x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №9

х):

(*)

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №11

Ряд ∑^∞_n=1C_nφ_n(x) с коэффициентами С_п, вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x) по нормированной О. с. ф. {φ_n(x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций φ_k(x), то есть ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ фото №13

∞_n=1C_nφ_n(x) сходится в среднем к функции f (x)]. 2) Для всякой функции f (x), квадрат которой интегрируем относительно веса ρ(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова — Стеклова:

3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a, b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям φ_n(x), n = 1, 2,....

Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство), то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. — разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова — Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.

Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.

Смотреть больше слов в «Большой Советской энциклопедии»

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ →← ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ

Смотреть что такое ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ в других словарях:

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ, система функций {фп(x)},п=1, 2, . . ., ортогональных с весом р (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, чтоСистематич. изуч... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

(отгреч. orthogonios - прямоугольный) - конечная или счётная система ф-ций , принадлежащих (сепара-бельному) гильбертову пространству L2(a,b )(квадр... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

система ф-ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) - нек-рая ф-... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ, система функций ??n(х)?, n=1, 2, ..., заданных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:при k?l, где ?(x) - некоторая функция, называемая весом. Напр., тригонометрическая система 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ... - ортогональная система функций с весом 1 на отрезке [-?, ?].<br><br><br>... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ , система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:при k?l, где ?(x) - некоторая функция, называемая весом. Напр., тригонометрическая система 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ... - ортогональная система функций с весом 1 на отрезке [-?, ?].... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ, система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:при k?l, где ?(x) - некоторая функция, называемая весом. Напр., тригонометрическая система 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,... - ортогональная система функций с весом 1 на отрезке [-?, ?].... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ система ФУНКЦИЙ - система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов.<br>... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

Смотреть что такое ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ в других словарях:

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

Рекомендуем посмотреть:

INTERDIGITATING HISTIOCYTES

KULAKTAN KULAĞA

WYBIERAĆ

ГИПОТЕНЗИВНЫЙ

ЗАГОЛИТЬСЯ

МЕСЯЧНЫЙ

САМЬЯАВАСТХА

СЯНЦЗЯН

ХАЛАФСКАЯ КУЛЬТУРА

טלפנתן